Généralités

Définition  

Soit $(u_n)$ une suite   et  $\ell$ un réel.
On dit que $(u_n)$ tend vers  $\ell$ quand  $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ , et on écrit  $\boxed{{\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=\ell }}$ , si tout intervalle ouvert contenant $\ell$  contient toutes les valeurs de  $u_n$ à partir d'un certain rang.

Traduction à l'aide de quantificateurs : $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\text{ tel que }\mathrm{\forall }n⩾n_0,|u_n-\ell |⩽\epsilon .$

Propriété (admise)

Soit une suite $(u_n)$ qui tend vers un réel  $\ell$ . On admet que la limite de  $(u_n)$ est unique.

Exemples

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}=0}$  et plus généralement, pour tout $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n^p}=0}$
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}=0}$
3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^n}=0}$
4. Cas des suites constantes : pour tout réel $c$ , $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}c=c$

Définitions

• Soit une suite   $(u_n)$ qui tend vers un réel $\ell$ . On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ .
  
• Une suite non convergente est dite divergente.